求椭球面 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 被平面 $x+y+z=0$ 截得的椭圆的长半轴与短半轴
分析: 将空间几何问题转化为函数极值问题，利用拉格朗日乘数法解出最大值和最小值，即可得到结果。
解: 可知平面 $x+y+z=0$ 过点 $(0,0,0)$ ，也就是过椭球面中心，设椭圆上任意一点为 $(x, y, z)$ ，则坐标原点到 $(x, y, z)$ 的距离为 $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 设
$$
\begin{gathered}
F(x)=x^2+y^2+z^2+\lambda\left(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}+z^2-1\right)+\mu(x+y+z) \\
\left(\begin{gather}
F_x^{\prime}=2x+\frac{2 \lambda}{3}x+\mu=0 \\
F_y^{\prime}=2y+\lambda y+\mu=0 \\
F_z^{\prime}=2z+2 \lambda z+\mu=0 \\
F_\lambda^{\prime}=\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}+z^2-1=0 \\
F_\mu^{\prime}=x+y+z=0
\end{gather}\right.
\end{gathered}
$$
由题意知，目标函数是 $x^2+y^2+z^2$ ，所以将 $(1) \times x+(2) \times y+(3) \times z$ ，得
$$
2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\lambda\left(\frac{2 x^2}{3}+ y^2+2 z^2\right)+\mu(x+y+z)=0 \tag 6
$$
根据(4), (5)式进一步化简 $(6)$ 式得 $2\left( x^2+y^2+z^2 \right)+2 \lambda=0$,即$\lambda=-d^2$
$(7)$同理再根据(1), (2), (3)式有
$$
-\mu= x(2+\frac{ 2\lambda}{3})= y(2+ \lambda)= z(2+2 \lambda)
$$
将 $x$，$y$, $z$ 用表示$\lambda$ 和$\mu$ 表示，有 $x=\frac{-3 \mu}{6+2 \lambda} ， y=\frac{- \mu}{2+ \lambda} ,z=\frac{- \mu}{2+2 \lambda}$ ，再带入(5)式，有 $-\frac{3 \mu}{6+2 \lambda} -\frac{ \mu}{2+ \lambda} -\frac{ \mu}{2+2 \lambda}=0$ ，不难验证$\mu=0$时$x,y,z$均为$0$,与$(4)$相矛盾，化简得 $3 \lambda^2+11 \lambda+9=0$， ，解得 $\lambda_{1,2}=\frac{-11 \pm \sqrt{13}}{6}$ ，所以
$$
d_{\min }^2=- \lambda_1=\frac{11-\sqrt{13}}{6}, d_{\max }^2=- \lambda_2=\frac{11+\sqrt{13}}{6}
$$
即椭圆长半轴为 $\sqrt{\frac{11+\sqrt{13}}{6}}$ ，短半轴为 $\sqrt{\frac{11-\sqrt{13}}{6}}$