已知
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x t^2 \mathrm{e}^{x^2-t^2} \mathrm{~d} t+a \mathrm{e}^{x^2}}{x^b}=-\frac{1}{2}
$$
求 $a, b$ 的值.
解：提出$\mathrm{e}^{x^2}$,
$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\frac{ \mathrm{e}^{x^2}\left(\int_0^x t^2 \mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{~d} t+a\right)}{x^b}=-\frac{1}{2}$$
可得
$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\int_0^x t^2 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t+a=0$$
将$e^{-t^2}$凑微分分部积分得
$$a=-\frac{\int_0^\infty e^{-x^2}\mathrm{~d}x}{2}=-\frac{\sqrt\pi}{4}$$
原式即为
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\frac{\int_0^x t^2 \mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{~d} t-\frac{\sqrt\pi}{4}}{x^b \mathrm{e}^{-x^2}}$$
使用洛必达法则得
$$
\begin{aligned}
&\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2{e}^{-x^2}}{bx^{b-1} \mathrm{e}^{-x^2}-2x^{b+1}e^{-x^2}}\\
&=\lim _{x \rightarrow+\infty}\frac{x^2}{bx^{b-1}-2x^{b+1}}\\
&=-\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
即 $b=1$
综上所述。$a=-\frac{\sqrt\pi}{4}$, $b=1$