设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=c \in \mathbb{R}$. 则对 $a, b>0$ 成立
$$\int_0^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-c) \ln \frac{b}{a}$$
如果将条件改为积分 $\int_a^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 对某个 $a>0$ 收敛，则有
$$\int_0^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$$
上述条件要求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，也可减弱至 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在，并将等式右侧的相应 $f(0)$ 做修改即可。
下面给出第一条结论的证明,其余类似
$$
\begin{aligned}
F(t_1,t_2)&=\int_{t_1}^{t_2} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{d} x\\
&=\int_{t_1}^{t_2} \frac{f(a x)}{ax}\mathrm{d} (ax)-\int_{t_1}^{t_2} \frac{f(b x)}{bx}\mathrm{d} (bx)\\
&=\int_{at_1}^{at_2} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d} x-\int_{bt_1}^{bt_2} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x\\
&=\int_{at_1}^{\xi} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d} x-\int_{bt_1}^{\xi} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x+\int_{\xi}^{at_2} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d} x-\int_{\xi}^{bt_2} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x\\
&=\int_{at_1}^{bt_1} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d} x-\int_{bt_2}^{at_2} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x\\
\end{aligned}
$$
$$\begin{aligned}
&\lim_{\substack{t_1 \rightarrow 0 \\t_2\rightarrow+\infty}}F(t_1,t_2)=\lim_{\substack{t_1 \rightarrow 0 }} \int_{at_1}^{bt_1} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d} x-\lim_{\substack{t_2 \rightarrow +\infty }}\int_{bt_2}^{at_2} \frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x\\
&\text{使用积分中值定理得}\\
&\lim_{\substack{t_1 \rightarrow 0 }}f(\eta_1) \int_{a t_1}^{b t_1} \frac{1}{x} d x+ \lim_{\substack{t_2 \rightarrow +\infty }}f(\eta_2) \int_{b t_2}^{a t_2} \frac{1}{x} d x. \\
&=\lim_{\substack{t_1 \rightarrow 0 \\t_2\rightarrow+\infty}}\left(f(\eta_1)-f(\eta_2) \right)\ln \frac{b}{a}\\
&0\leq\eta_1\leq bt_1,min(at_2,bt_2)\leq \eta_2\leq max (at_2,bt_2)\\
&又f(x)在[0,+\infty) 上连续，且 \lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=c,得\\
\end{aligned}$$
$$\int_0^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=\lim_{\substack{t_1 \rightarrow 0 \\t_2\rightarrow+\infty}}F(t_1,t_2)=(f(0)-c) \ln \frac{b}{a}$$