若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n}=l \neq 0$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 同敛散.
反例
$$
\begin{aligned}
& u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n} \\\\
& v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
\end{aligned}
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}= \frac{(-1)^n+\frac{1}{\sqrt{n}}}{(-1)^n}=1
$$
显然 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散