设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$.
(1) 证明: 对于任意 $x_0, x \in(-\infty,+\infty)$, 有 $f(x) \geqslant f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$;
(2) 证明: 若存在常数 $M>0$, 使得任意 $x \in(-\infty,+\infty)$, 均有 $|f(x)| \leqslant M$, 则 $f(x)$ 为常值函数
泰勒展开得
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2}(x-x_0)^2$$
又$f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$，得证 $f(x) \geqslant f(x_0)+f^{\prime}(x)(x-x_0)$
设$\exists x_0$ ,使得$f^{\prime}(x_0) \neq 0$, 有$f(x) \geqslant f^{\prime}(x_0) x+f(x_0)-x_0 f^{\prime}(x_0)$ ,$f(x)$ 在一条直线上方，对于 $\forall M$ ，均有 $|f(x)| >M$ , 与$|f(x)| \leqslant M$矛盾，故 $f’(x)$恒为 $0$ ，即$f(x)$为常函数